Toute famille orthonormale est libre. Une fois muni d’un produit scalaire, et donc d’une norme, un espace devient un espace de Hilbert et se trouve doté de propriétés similaires à celles de la géométrie classique dans des espaces euclidiens. ENDOMORPHISMES SYMÉTRIQUES DES ESPACES EUCLIDIENS Bonsoir, Dans mon cours, on a écrit que l'on peut montrer que si (E,N) est un R-espace vectoriel normé avec N vérifiant l'identité du parallélogramme (ou de la médiane), alors N est une norme euclidienne. ISOMÉTRIES DU PLAN AFFINE EUCLIDIEN 5 2.1.2. Norme, produit scalaire et identité du parallélogramme † Identité du parallélogramme : kx ¯yk2 ¯kx ¡yk2 ˘2(kxk2 ¯kyk2) Proposition 3.Ces résultats sont analogues aux identités remarquables. Chap. 16 |Espaces préhilbertiens réels Catherine LAIDEBEURE - 2013. En déduire que la norme ∞ ⋅ n’est pas euclidienne. Orthogonalité. Soit l sa limite. Espaces euclidiens 1. ç La norme euclidienne est définie à partir du produit scalaire. Dé nition d'une norme : Soit E un R-espace vectoriel. Géométrie euclidienne et affine - normale sup Preuve. † Identité du parallélogramme : kx¯yk2 ¯kx¡yk2 ˘2(kxk2 ¯kyk2) Proposition 3 Soient x,y 2E, on a : ˙x,y ¨˘ 1 4 (kx¯yk2 ¡kx¡yk2). Doc Solus 1 1.2. Une norme n'est pas toujours donnée par un produit scalaire, elle l'est si et seulement si on a l'identité du parallélogramme. Espaces euclidiens. Endomorphismes symétriques. Elle dit que la somme des carrés des quatre côtés d’un parallélogramme AB, BC, CD et AD est égale à la somme des carrés de ses diagonales AC et BD, on écrit : … Propriétés et exercices. Produits scalaires. Espaces euclidiens - MATHEMATIQUES À partir d’une norme euclidienne, on retrouve le produit scalaire dont elle est issue à l’aide d’une des identités de polarisation : (x|y)= 1 2 kx +yk2 −kxk2 −kyk2 et (x|y)= 1 4 kx +yk2 −kx −yk2 . . Les carrés sont remplacés par des normes au carré et les produits sont remplacés par des produits scalaires.

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